Количество комбинаций в покере

Прибыльная покерная стратегия основывается на математических вычислениях и логических выводах. Опытные игроки анализируют статистику, пишут заметки об оппонентах, отмечают их стили и используют эту информацию для построения точных предположений. Простые математические расчеты помогают понять, сколько комбинаций в покере может быть у того или иного соперника в конкретной ситуации.

Что такое комбинаторика в покере

Раздел математики, называемый комбинаторикой, решает задачи по выбору и расположению элементов множеств. Чтобы применить это определение к покеру, надо заменить термины более простыми словами.

Отсюда и до раздела со спецификой комбинаторики в отдельных игровых дисциплинах рассматриваются примеры для Техасского Холдема.

Главное множество покера — это колода. Она состоит из 52 уникальных карт (элементов), но некоторые из них имеют общие свойства (равные по достоинству или одинаковые по масти). Есть и меньшие множества:

• Рука. Набор, который включает от 2 до 7 карт, используемых игроком для составления комбинации.
• Диапазон. Также называется спектром. Набор карт, которые могут оказаться в руке у соперника. Количество элементов — от 2 до 50.

В покере комбинаторика играет такую же роль, как в других сферах применения. Она отвечает на вопросы о том, какие множества (руки) могут быть у соперника, использующего конкретное количество элементов (карт). Или позволяет предположить, какие готовые комбинации у него могут быть, а какие нет.

В этом разделе математики есть много сложных конфигураций, но в покере используются только сочетания и перестановки.

Сочетания

Сочетание — набор из k элементов, взятых из множества n без учета порядка и не имеющий повторений. В покере это определение того, сколько вариантов различных комбинаций можно составить из карт.

Вот пример с числами из общей математики для сочетания 3 из 5 элементов множества.

Следующий пример приведен для покера. Были взяты сочетания 5 из 7 карт для составления комбинации на вскрытии.

Таким образом, у игрока есть 21 вариант готовой комбинации для вскрытия. По правилам покера, будет использован самый сильный.

Перестановки

Эта конфигурация находит упорядоченные наборы без повторений. Например, сколько вариантов стартовой руки KQ можно составить. В колоде есть по 4 короля и дамы. При подсчете важно учесть, что, например, K♣Q♦ равнозначна Q♦K♣.

Всего получается 16 вариантов. Причем 4 из них одномастные.

Если карты в стартовой руке одного достоинства, количество перестановок сокращается до 6.

Зачем считать покерные комбинации

Математическая работа с множествами и элементами позволяет находить ответы на различные вопросы, связанные со стратегией:

• Сколько вариантов конкретной стартовой руки может быть у соперника.
• Какой процент диапазона получает дро на определенном флопе.
• Какое точное количество стартовых рук у оппонента и как они распределены по категориям (пары, одномастные, коннекторы).
• Сколько вариантов стрит-дро может быть у игрока на флопе A♥T♠7♠.
• Как наличие конкретной карты влияет на эквити оппонента.

Новичку, впервые узнавшему о комбинаторике в покере, может показаться, что это абстрактные вопросы, далекие от практики. О том, как ответы на них влияют на стратегию, рассказывается далее.

Варианты стартовых рук на префлопе в Техасском Холдеме

В Холдеме игроки используют на префлопе 2 карты из 52. Всего есть 1,326 возможных сочетаний. При определении диапазона отталкиваются от количества рук в категориях:

• Пара всегда имеет 6 вариантов составления.
• Двухкарточную руку одной масти можно составить 4 способами. Например, AQs может быть червовой, пиковой, трефовой или бубновой.
• У разномастной непарной стартовой руки 12 вариантов составления.

Подсчеты показывают, что структура диапазона не бывает однородной. Если оппонент делает рейз на префлопе только с AA и AK, вероятность наличия двух тузов равна не 50%, а 20%. Поскольку есть 16 вариантов AK и 4 — AA.

Подсчет рук в диапазоне

Покерист, выстраивающий стратегию по математическим принципам, во время игры «кладет» оппонентов на конкретные диапазоны. Он предполагает, какие карты на руках у соперников. Выводы делаются из истории игры за столом, собранной статистики, заметок об особенностях оппонента.

Умение подсчета возможных комбинаций в покере помогает делать более точные предположения. Например, 10% префлоп-рейза — это 132 стартовые руки.

Если предположить, что игрок использует в примере только лучшие пары и бродвей, получится такая раскладка:

• AA, KK, QQ, JJ, TT, 99 — 36 (по 6 вариантов каждой пары).
• AK, AQ, AJ, KQ, KJ, QJ — 96 (по 16).

То есть в диапазоне соперника с PFR 10% на префлопе 27.7% парных и 62.3% непарных рук. Это более глубокое представление, чем обычная запись 99+, AJ+, KJ+, QJ.

Комбинаторика помогает не просто представить, какие карты у соперника. Она дает понять, каких вариантов в диапазоне больше, как он взаимодействует с бордом и высокое ли имеет эквити.

Как работают блокеры

Блокеры — это карты, наличие которых сокращает количество отдельных рук в диапазоне оппонента. Меняется и его структура. Это называется эффектом изъятия.

На префлопе блокеры чаще всего используют при построении спектра 3-бета. Далее представим, что появилась возможность сделать 3-бет против оппонента с 10% PFR из примера выше.

• Например, у Алексея A♣J♠. У соперника не может быть рук с трефовым тузом и пиковым валетом. Следовательно, из предположительного спектра нужно убрать:
• Пары тузов. A♣A♦, A♣A♠, A♣A♥ — 3 из 6.
• Пары валетов. J♠J♣, J♠J♦, J♠J♥ — 3 из 6.
• Бродвей с A♣ или J♠. A♣K♣, A♣K♠, A♣K♦, A♣K♥, A♣Q♣, A♣Q♠, A♣Q♦, A♣Q♦ A♣J♣, A♣J♠, A♣J♦, A♣J♥, A♠J♠, K♣J♠, K♠J♠, K♦J♠, K♥J♠, Q♣J♠, Q♠J♠, Q♦J♠, Q♥J♠ — 21 из 96.

Это меняет структуру диапазона. Теперь он состоит из 105 рук: 28.6% пар и 61.4% бродвея. Разница не кажется большой, но это из-за примера для префлопа. На поздних улицах учет одного-двух блокеров может изменить эквити на 10%+.

Тема блокеров широко раскрывается в сложных стратегиях постфлопа со сбалансированными диапазонами. Например, по GTO наличие туза к флешу может стать причиной выбора между чеком и овербетом в блеф на ривере.

Принцип сужения диапазона

Количество рук у покериста на конкретной улице всегда меньше, чем на префлопе. Точный состав зависит от линии розыгрыша. Например, на флопе соперник продолжает ставить с частью карт, а некоторые уводит в чек.

Диапазоны в покере всегда сокращаются от префлопа к вскрытию.

Дерево решений разрастается. Например, на флопе игрок, сделавший открывающий рейз, может продолжить линиями: бет-рейз, бет-колл, бет-фолд, чек-рейз, чек-фолд, чек-колл.

Исключение отдельных карт в некоторых ситуациях позволяет сократить количество возможных рук оппонента к риверу до 3-5.

Примеры подсчета в игре

Комбинаторика практически не используется на первой улице, ее стратегическая важность раскрывается на постфлопе. Однако некоторое влияние все же есть.

Например, эффект изъятия сказывается на диапазонах при 3-бетах и 4-бетах. Если соперник с 3-bet 5% сделал ререйз, его спектр состоит из TT, AQo+ и AJs+. Он содержит 30 карманных пар, 24 разномастных и 12 одномастных тузов. По долям — 45.5, 36.4 и 18.1%.

Имея A♥K♣ в раздаче против этого оппонента, необходимо понимать, что фактически состав спектра изменится. В диапазоне не может быть рук с A♥ и K♣:

• По 3 варианта AA и KK.
• 5 — AK разномастные.
• 4 — AQ.
• 2 — AK одномастные.
• 1 — AJs.

Диапазон сократился с 66 до 48 рук. И теперь распределение пары/разные/масть такое: 24 / 16 / 8 или 50% / 33% / 18%. Отличия небольшие, поскольку, как уже было отмечено, комбинаторика важна для принятия решений на постфлопе.

В случае с изолейтами, стилами, защитой блайндов подобные расчеты настолько слабо влияют на эквити, что ими можно пренебречь. Важнее уметь точно определять диапазоны. А работу с удалением из них конкретных карт надо оставить на следующие улицы.

Чтобы показать это, можно продолжить пример из раздела о блокерах. Исходные данные:

• Алексей получает опен-рейз от соперника из ранней позиции и защищает большой блайнд коллом.
• Статистика оппонента говорит, что он выполняет это действие в 10% случаев.
• 10% — 99+, AJs+, KJs+, QJs, AJo+, KJo+, QJo.

Алексей делает колл. Его рука для примера не важна.

Флоп: 6♣5♣J♠. Используя комбинаторику, можно разбить диапазон оппонента на разные категории рук:

• Оверпары. AA, KK, QQ — 18 вариантов.
• Флеш-дро. A♣K♣, A♣Q♣, K♣Q♣ — 3.
• Оверкарты. Любые AK, AQ, KQ, кроме одномастных трефовых — 45.
• Пары валетов. AJ, KJ, QJ — 36.
• Сеты. JJ — 3.

Это позволяет представить структуру диапазона — как часто оппонент получает на таком флопе руки разной силы. В 43% случаев он не попадает в него напрямую. В 51% имеет пару валетов. И лишь в 2.8% — сет.

Следующий пример показывает, как комбинаторика помогает оценить опасность борда. Исходные данные:

1. Михаил делает рейз из ранней позиции с K♣K♦.
2. Соперник на катоффе — колл.
3. Остальные оппоненты — фолд.
4. Флоп: 9♥8♦4♣.

Пара королей — сильная рука на таком борде. Но для построения плана на раздачу надо понять, какие готовые комбинации и дро есть у оппонента.

Теоретически возможны сеты (888, 999, 444), две пары (8989, 9494, 8484), OESD (67, TJ, T7) и гатшоты (57, 56, TQ, QJ, T6, J7). Однако у оппонента не может быть таких рук, как 94, 84, также маловероятны T6, J7. А большая часть диапазона промахивается мимо флопа.

Примерное количество стартовых рук у оппонента на префлопе — 238. Сколько из них попадают в готовую комбинацию или дро:

• Сеты (88, 44) — 6 (2.5%).
• Две пары (98) — 2 (0.8%).
• OESD (TJ, 67, T7) — 20 (8.4%).
• Гатшоты (QJ, QT, 65) — 36 (15.12%).

Следовательно, лишь в 26.82% случаев оппонент будет иметь руку, с которой теоретически готов продолжать. А если убрать хотя бы половину гатшотов, число сократится до 19%.

Следует также обратить внимание на то, что у соперника капнутый диапазон. То есть он не включает руки выше определенного уровня. Например, здесь практически невозможно увидеть AA.

Особенности комбинаторики в разных видах покера

Правила подсчета комбинаций в покере сохраняются независимо от формата или разновидности игры. Однако сложность вычислений увеличивается в соответствии с количеством карманных карт. На практике дальше Холдема расчеты в уме не уходят.

Холдем 6+

В Холдеме с короткой колодой общее количество комбинаций сокращается с 1,326 до 630. Однако правила подсчета стартовых рук сохраняются.

Омаха

Количество комбинаций в покере Омаха увеличивается экспоненциально. Если в Холдеме есть 1,326 уникальных стартеров, то в 4-карточной дисциплине их 270,725.

Соответственно, отличается и количество вариантов для каждого:

• Разномастная рука без пар (например, A♠K♣T♥9♦) — 24.
• Любые четыре без пар — 256.
• Двумастная без пар — 12.
• Две пары (AA66) — 36.

Это примеры полных стартовых рук. Если отталкиваться от более широких определений, числа уходят в тысячи:

• Любая пара тузов (AAxx) — 9,961.
• Ряд (от 5432 до AKQJ) — 2,560.
• Туз с совпадением по масти — 45,880.
• Двумастная рука — 36,504.

В такой сложной комбинаторике говорить о точных расчетах в уме, как в Холдеме, не приходится. Поэтому игроки используют абстракции. Например, учитывают только карты, связанные с бордом. А подробный анализ проводят в покерных калькуляторах.

Пятикарточная Омаха

Чем больше карт, тем больше вариантов рук и сложнее представление диапазонов. В PLO-5 есть 2,589,960 стартеров. У 5 карт разного достоинства без учета мастей — 1,024, у двух пар — 1,632.

Шестикарточная Омаха

В Омахе с 6 карманными картами применять комбинаторику практически невозможно. Новичкам не следует об этом думать. Сложность расчетов здесь настолько высока, что нет покерного калькулятора, позволяющего задать два диапазона и сравнить эквити.

Частые вопросы

Как быстро посчитать количество вариантов непарной руки?

Перемножить свободные карты. Например, у K♦T♠ на флопе Q♥T♠2♦ их 12: 4 короля * 3 десятки (одна уже вышла). А если на столе лежат KT8, остается 9 вариантов: 3 * 3.

Как посчитать варианты парной стартовой руки?

Изначально их 6. При выходе одной карты количество сокращается до 3.

Почему важно понимать структуру диапазона?

Это помогает решить, на какую часть рук соперника направлено действие (чек или бет) и выбрать эффективный размер ставки.

Можно ли с помощью комбинаторики рассчитать точное эквити?

Теоретически да, но только на ривере, когда понятно, что из колоды не выйдут новые общие карты.

В каком калькуляторе можно проводить вычисления с учетом блокеров?

Лучшая из бесплатных программ для начинающих игроков — Equilab.